Frações Geratriz
Frações Geratriz
Fração geratriz é a representação fracionária da dízima periódica, seja ela simples, ou composta. Como o nome sugere, a fração geratriz gera a dízima quando dividimos o numerador pelo denominador da representação fracionária.
É um tipo de fração que, ao dividir seu numerador por seu denominador, produz uma dízima periódica (uma dízima infinita). Este número pertence ao conjunto dos números racionais (Q), cuja divisão resulta em um número decimal não exato, ou seja, a divisão da fração gera um número com infinitas casas decimais
Os números decimais repetidos têm um ou mais dígitos que se repetem indefinidamente, as dízimas possuem outros dois elementos: parte inteira e ante período. A parte inteira é aquela antes da vírgula, ou seja, antecede as casas decimais. Já o ante período é a parte do número que está após a vírgula.
0,11111....
1,3535...
0,3177...
2,5555.
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Como se calcula a fração geratriz?
1º passo: Igualar a dízima periódica a uma incógnita, por exemplo x, de forma a escrever uma equação do 1º grau.
2º passo: Multiplicar ambos os lados da equação por um múltiplo de 10. ...
3º passo: Diminuir a equação encontrada da equação inicial.
4º passo: Isolar a incógnita.
Fração geratriz exercícios
I- Utilizando fração geratriz, encontre o resultado da seguinte operação:
3. (1,0131313… – 0, 0141414…)
II- Encontre a fração geratriz para realizar as seguintes operações entre números decimais:
a) 1,1212121212… + 1,17
b) 23,012121212… + 1,14141414…
resposta
I-
II-
Fração geratriz calculadora
Esta é uma dízima periódica composta sendo o seu ante período igual a 37 e o seu período igual a 5.
O numerador da fração geratriz será formado pela diferença entre o ante período seguido do período ( 375 ) e o ante período ( 37 ), ou seja, 375 - 37 = 338.
O numerador já sabemos que será 338, já o denominador será formado por 1 dígito 9, que é o mesmo número de dígitos do período, tendo à direita 2 dígitos 0, que é o número de dígitos do ante período, ou seja, o denominador será igual a 900.
Portanto a fração geratriz será:
e gerará a dízima 0,37555...
Como ambos os termos desta fração são divisíveis por 2, podemos simplificá-la a fim de obter uma fração geratriz irredutível:
Fração geratriz como fazer
Exemplo
Encontre a fração geratriz do número 0,8888...
Solução
Primeiro vamos escrever a equação do 1º grau, igualando o número a x:
x = 0,8888...
Observe que o período é composto por um único algarismo (8). Assim sendo, temos que "andar" apenas uma casa para ter o período na frente da vírgula. Assim, multiplicaremos a equação por 10.
10 x = 10 . 0,8888...
10 x = 8,888...
Agora vamos diminuir as duas equações, ou seja:
Isolando o x, encontramos a fração geratriz:
Fração geratriz simples e Fração geratriz de 0
fração geratriz simples ou fração de geratriz de 0, são dízima periódica simples. Por isso, seguimos utilizando o mesmo macete.
0,484848…
Período: 48
Quantidade de algarismos que formam o período: 2 → 2 “noves” no denominador
A fração geratriz da dízima periódica 0,484848… é 16/33.
Neste caso, a fração geratriz obtida através do macete não era irredutível, por isso, foi possível simplificá-la por 3. Sempre que isso acontecer, pessoal, não hesitem em simplificar a fração geratriz encontrada!
FONTES: wikipédia/ matematicadidatica/ escolakids